home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ TeX 1995 July / TeX CD-ROM July 1995 (Disc 1)(Walnut Creek)(1995).ISO / systems / mac / textures / utilities / RTF->TeX.sit.hqx / RTF->TeX ƒ / RTF.tex < prev    next >
Text File  |  1992-11-27  |  7KB  |  74 lines
  1. %
  2. % Converted from RTF format using RTF->TeX
  3. % Comments and bugs to Brian Jefferies ( brianj@hydra.maths.unsw.edu.au)
  4. %
  5. \magnification\magstep1
  6. \baselineskip = 24pt
  7.  \def \R{{\bf R}}
  8.  \def \C{{\bf C}}
  9.  \def \Z{{\bf Z}}
  10.  \def \N{{\bf N}}
  11.  \def \Q{{\bf Q}}
  12. \def \qed{\hbox{\vrule height 8pt width 5pt}}
  13.  
  14. The two-dimensional Dirac equation for a function  
  15. $  \psi {}:   \R {}^{ 2}    \rightarrow {}    \C {}^{ 2}$  is given by  $$ \partial _{ t}  \psi {}({ t},{ x})  =  { [}-    \alpha {}{ (} \partial _{ x} -   { iA}_{ 1}({ t},{ x}){ )} -   { i}.{ m}  \beta {} + { i}.{ A} _{ 0}({ t},{ x}){ ]}  \psi {}({ t},{ x}),\qquad { t}    \in  {}   \R {},\qquad { x}    \in  {}   \R {},\eqno(XX)$$ 
  16.  in a system of physical units in which the light velocity ${  c}$  and Planck's constant  
  17. ${h}$  are equal to one. The 2 $   \times {}2$  matrices  $  \alpha {}$  
  18. and  $  \beta {}$  are hermitian with  $  \alpha {}^{ 2} =   \beta {}^{ 2} =$  
  19. 1 and  ${ \alpha \beta } + { \beta \alpha } =$  0. Both  ${ A}_{ 0}$  and  
  20. ${ A}_{ 1}$  are real valued functions on  $   \R {}^{ 2}.$  The number  
  21. ${ m}$  represents the rest mass of the particle whose state is associated with  the function  
  22. $  \psi {}.$\par
  23.  If for the moment we suppose that the functions  ${ A}_{ 0}$  
  24. and  ${ A}_{ 1}$  are both identically zero on  $   \R {}^{ 2},$  then equation (XX) becomes  $$ \partial _{ t}  \psi {}({ t},{ x})  =  { [}-    \alpha {} \partial _{ x} -   { i}.{ m}  \beta {}{ ]}  \psi {}({ t},{ x}),\qquad { t}    \in  {}   \R {},\qquad {  x}    \in  {}   \R {}.\eqno(XY)$$ 
  25.  On any space  ${ L}^{ p}(   \R {}^{ 2},   \C {}^{ 2}),$  1  $ \leq  { p} <    \infty  {},$  
  26. the operator  $-    \alpha {} \partial _{ x} $  is associated with a continuous, uniformly bounded  group  
  27. ${ S}_{ p}({ t}), { t}    \in  {}   \R {},$  of linear transformations on  
  28. ${ L}^{ p}(   \R {}^{ 2},   \C {}^{ 2}):$  there exists a 2 $   \times {}2$  
  29. unitary matrix  ${ U}$  such that  ${ U}  \alpha {}{ U} ^{{ -  1}} = \left(\matrix{1&0\cr 0&-  1\cr }\right),$  
  30. so that  ${ US}_{ p}({ t}){ U}^{{ -  1}}  \phi {}({ x}) = { (}  \phi {}_{ 1}({ x}+{ t}),  \phi {}_{ 2}({ x}-  { t}){  )}$  
  31. for  $  \phi {}    \in  {}{ L}^{ p}(   \R {}^{ 2},   \C {}^{ 2}).$  For  
  32. ${ p} =    \infty  {},$  we have continuity for the weak*-topology  $  \sigma {}{ (}{ L}^   \infty  {}(   \R {}^{ 2 },   \C {}^{ 2}),{ L}^{ 1}(   \R {}^{ 2},   \C {}^{ 2}){ )}.$  
  33. Each of the component functions  $  \phi {}_{ 1}$  and  $  \phi {}_{ 2}$  
  34. is transformed according to the action of a translation in  $    \R {}^{ 2}.$\par
  35.  
  36. It follows from the Trotter product formula [K ] that the operator  $-    \alpha {} \partial _{ x} -   { i}.{ m}  \beta {}$  
  37. is also associated with with a uniformly bounded group of operators on  
  38. ${ L}^   \infty   {}(   \R {}^{ 2},   \C {}^{ 2}),$  so Theorem XYZ shows that there are countably additive operator valued measures associated with equation (XY) and solutions to equation (XX)  can be represented by integrals with respect to these measures.\par
  39.  
  40. Similarly, the wave equation in two space-time dimensions is  $$ \partial _{ t}^{ 2}  \psi {}({ t},{ x})  = { c}^{ 2}  \partial _{ x}^{ 2}  \psi {}({ t},{ x})  ,\qquad    \psi {}(0,{ x}) = { f}({ x})  ,\qquad    \psi {}_{ t}(0,{ x}) = { g}({ x}) ,\qquad { x }    \in {}{  }   \R {},\qquad { t}  \geq  0.$$ 
  41.  Let  ${ v}({ t},{ x}) =  \partial _{ t}{ u}({ t},{ x}) - { c}  \partial _{ x}{ u}({ t},{ x}) ,  \partial _{ t}{ v}({ t},{ x}) + { c}  \partial _{ x}{ v}({ t},{ x}) =$  
  42. 0, with  $${ v}(0,{ x})  =  { g}({ x}) - { cf} '({ x}),\qquad { u}({ x}) = { f}({ x}),\qquad$$ 
  43. for all  ${ x }   \in {}{  }   \R {}.$\par
  44.  \par
  45. \rm  On setting ${  \phi  = }\left(\matrix{{ u}\cr { v}\cr }\right),$  
  46. the equation becomes the first order system  $$ \partial _{ t}  \phi  {}= { A}  \partial _{ x}  \phi {} + { iQ}  \phi  {} ,\qquad { Q }= \left(\matrix{0{  }-{ i}\cr 0 0\cr }\right),\qquad  { A  }= \left(\matrix{{ c  }0\cr 0 -{ c}\cr }\right),{ }$$ ${  }   $ 
  47. with the initial condition    $  \phi {}(0,{ x}) ={  }\left(\matrix{{ f}({ x})\cr { g}({ x}) - { cf} '({ x})\cr }\right), { x }   \in {}{  }   \R {}.$\par
  48.  
  49. The operator  ${ A} \partial _{ x}  \phi {} + { iQ}$  is also associated with with a uniformly bounded group of operators on  
  50. ${ L}^   \infty  {}(   \R {}^{ 2},   \C {}^{ 2}) ,$  so perturbations to the wave eqaution may also be represented in terms of path integrals.\par
  51.  
  52. Similar considerations apply to the  ${ N}   \times {}{ N}$  hyperbolic system of the first order  $$ \partial _{ t}  \psi {}({ t},{ x})  =  { [}\sum_{{ l =1}}^{{ d}} {  }{ P}_{ l}{ (} \partial _{ x_{ i}{  }} -   { iA}_{ l}({ t},{ x}){ )} + { iQ} + { iV}({ t},{ x}) { ]}  \psi {}({ t},{ x}),\qquad 0 < { t} < { T},\qquad { x }   \in  {}{\bf R}^{ d},\eqno(XXA)$$ 
  53.  where 0  $< { T} <    \infty  {},$  and  ${ P}_{ l},$  1  $ \leq  { l}  \leq  { d},$  
  54. and  ${ Q}$  are constant  ${ N}   \times {}{ N}-matrices,$  and  ${ A}_{ l}({ t},{ x}),$  
  55. 1  $ \leq  { l}  \leq  { d},$  and  ${ V}({  t},{ x}), $  0  $ \leq  { t}  \leq  { T}, { x }   \in  {}{\bf R}^{ d}$  
  56. are real-valued functions. The function  $  \psi {}$  has values in  ${\bf C}^{ N}.$  
  57. It is assumed that  ${ P}_{ l} ,$  1  $ \leq  { l}  \leq  { d }$  have only real eigenvalues, and that they are simultaneously diagonalizable. The path space measures associated with the first order hyperbolic system (XXA) were first considered by T. Ichinose [Ich ] who examined properties of the fundamental solution  of the system (XXA). \par
  58.  
  59. The alternate viewpoint using the Trotter product formula outlined above was formulated in [Jeff  ] as an application of Theorem ZZZ. The essence of this approach is that there is a collection of dynamical systems, represented by translations along the  
  60. ${  x}_{ i}-axes,$  1  $ \leq  { i}  \leq  { d}$  for the equations (XXA), that act independently on components of the state vector prior to suffering a  
  61. ${ mixing}$  of components via a semigroup of operators , for example, the semigroup generated by the constant matrix  
  62. ${ iQ}$  in equation (XXA). \par
  63.  The operator  $\sum_{{ l =1}}^{{ d }} { }{ P}_{ l} \partial _{ x_{ i}{ }} $  
  64. in (XXA) can be written more suggestively as\par
  65.  $\int_{{ K}} {  } \sum_{{ l =1}}^{{ d }} { }  \lambda {}_{ i} \partial _{ x_{ i}{ }} d{ R}(  \lambda {}_{ 1}, \dots ,  \lambda {}_{ d}).$  
  66. The matrices  ${ P}_{  l} ,$  1  $ \leq  { l}  \leq  { d}$  are simultaneously diagonalizable, so there exists a discrete spectral measure  
  67. ${ R}$  acting on  $   \C {}^{ N}$  such that  ${ P}_{ i} =  \int_{{ K}} {  }  \lambda {}_{ i} d{  R}(  \lambda {}_{ 1}, \dots ,  \lambda {}_{ d}),$  
  68. for each 1  $ \leq  { l}  \leq  { d};$  the set  ${ K}$  is the joint spectrum of the system of matrices ( 
  69. ${ P}_{ 1}, \dots ,{ P}_{ d}). $\par
  70.  Our aim now is to apply these ideas in the general setting of a direct sum of dynamical systems over a single measure space ( 
  71. $  \Sigma {},{\cal E},  \mu {}):$\par
  72.  \par
  73. \rm  \end
  74.